数学(17)

 

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我们常把上面左图所示的这种1×2的小长方形叫做一个多米诺骨牌。给你足够的多米诺骨牌,你能用它们既无重复又无遗漏地铺满右图所示的棋盘吗?每个多米诺骨牌既能橫着放也能竖着放。您不妨先自己思考几分钟,然后再阅读。


某次会议一共有100个人参加,其中某些人之间握过手,但每两个人之间最多只会握一次手。会议结束后,不同的人握手的次数不同,有的人握手次数少,有些人握数次数多。问:是否一定能找到两个人,他们握手的次数是相同的?您不妨先自己思考几分钟,然后再阅读。


在维基百科是这样介绍芝诺悖论的:

芝诺悖论是古希腊数学家芝诺(Zeno of Elea)(盛年约在公元前464-前461)提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。这些悖论是芝诺反对存在运动的论证其中最著名的两个是:“阿基里斯追乌龟”和“飞矢不动”。


下面是我之前的笔记,整理如下。 


平面上两点最短距离大家都知道直线最短,这是公理,因为这连牛都知道(小牛肯定优先选择直线跑向牛妈)。但是球面两点最短距离就不是凭直觉可以知道的了。 比如下图 P、Q 两点的最短距离是大圆 O 上的劣弧,还是小圆 O'上的劣弧,还是其它弧呢?注:劣弧指的是两段弧中较短的弧。 



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上一篇 球面两点最短距离 证明了球面两点最短距离是和球心形成的大圆的劣弧。我们利用这一结论,可以用于计算地球上两地间的最短距离。我们可以把地球看作一个标准的球体,两地间没有障碍物,不会高低不平,这样看来就特别适用于航海。而在陆地上我们可以做为一个参考距离。


问题1:证明对任意一个闭曲线,总存在一条直线把它分成面积相等的两份。

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图1


最近考上南京邮电大学的徐玉玉学费被骗身亡,清华教授被骗1760万,暴露了很多问题,比如银行系统/制度的漏洞,我们的身份、隐私泄漏问题。今天早上想到面这么个问题

 

小明和小白在火车上相遇,聊得很投缘。小明想知道自己的生日和小白是否相同,但是由于刚刚认识,想尽量保护双方的隐私(能满足如果生日不一样不希望对方知道自己的生日即可)。请你给他们出一个方案。


一场活动要测试鸵鸟蛋的坚固性。要让蛋从高楼上落下而不破,进而依据不破的最高楼层决定蛋的硬度。测试的高楼共101层。测试员意识到,如果他只带一颗鸵鸟蛋的话,他需要从第1层开始往上依次每一层把蛋投下以判定蛋的硬度。

如果他带两颗鸵鸟蛋(假定坚固性一样),那么在最坏的情况下他需要测试多少次呢?

一个点在x 轴行走,起始点在原点,每次走 1 格,每次的方向随机或正或负,概率均为1/2。行走 n 步后,预期该点相对原点的绝对距离是多少呢?

这是前几年的随笔,分享下。一家人带着不到三岁的女儿在厦门科技馆玩耍。 在科技馆玩了一天,最后一个项目是女儿自己进入和小朋友们一起玩,大人在外面等候。

我们先聊生日悖论问题,后面再看看什么是生日攻击。

傅里叶变换

\begin{align*} \widehat{f}(w) =& \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{-ixw} dx \\ =&\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) (\cos wx - i\sin wx) dx \\ =& \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \cos wx dx  - i \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \sin wx dx \qquad (1) \end{align*}

如果一个随机变量具有概率密度函数

\begin{align*} f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad -\infty < x < \infty \end{align*}

则称X为正态随机变量并记为$X \sim N(\mu, \sigma^2)$.这里N 为“Normal” 一词的首字母.$\mu, \sigma$ 都是常数,$\mu$ 为均值,可以取任何实数值, 而$0 < \sigma^2 < \infty$ 为方差,$\sigma$ 称为标准差。这种分布我们称之为正态分布,德国数学家Gauss率先将其应用于天文学研究,故正态分布又叫高斯分布

古希腊哲学家苏格拉底曾言:“我唯一知道的就是我一无所知。”; 中国儒家学派创始人孔子曰:“知之为知之,不知为不知,是知也。”; 德国著名数学家希尔伯特则满怀信心地说道:“我们必须知道,我们必将知道。” 。我觉得希尔伯特和苏格拉底、孔子的说法并不矛盾,因为只有当你知道自己不知道时,才会去探寻,才会说“我们必须知道,我们必将知道”。


这是伯克利2013年秋数学博士资格的一道数论题。令 m=561,若 a 与m互素,证明

\[a^{m-1} \equiv 1 \pmod{m} .\]


如下图,看图列式计算,这是一道求部分的题。我发现对于这类题,我女儿经常写成加法, 3+6=9,下面是我提醒她修改后的。

在计算机中,字符可以进行大小比较,ASCCI码字符大小关系如图(ASCCI码字符大小),和数轴类似,左边的字符小于右边的字符。而字符串由字符组成,因此简单的字符串排序方法,可以逐字符进行大小比较排序。


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ASCCI码字符大小


例如 a9.txt, a10.txt, 假设按字符升序逐个排序,则排序的结果为a10.txt, a9.txt。第1个字符双方都是'a',大小相等;由于按升序排序,第2个字符'1'排在字符'9'前面,即'1'<'9',因此'a1'排在'a9'前面,后面就不需要再继续比较了。