棋盘覆盖

 

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我们常把上面左图所示的这种1×2的小长方形叫做一个多米诺骨牌。给你足够的多米诺骨牌,你能用它们既无重复又无遗漏地铺满右图所示的棋盘吗?每个多米诺骨牌既能橫着放也能竖着放。您不妨先自己思考几分钟,然后再阅读。



 一开始我没有头绪,脑海里想到了着色和对称方向两个思路,想了几分钟,无果,我想先把问题简单化,考虑4*4 棋盘,回到一开始的着色思路,使用 0, 1 代替,画起图来。


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看到上面的图形,突然有了思路,显然,不论是竖放,还是横放,必定10各占据一个。但是10总数分别为86,不相等,所以1*2的小长方形是不可填满的!

事实不难推出,这种正方形的格子棋盘,不论宽多少,都是不可能铺满的。证明如下:

1.当n为奇数时,n*n-2 为奇数,这是显然不可能填满的。

2.当n为偶数时,按下图类似写上10。先假设右上角和左下角的格子没有被拿掉。第一行10,重复标记;接下来2-n行类似标记1 0,只是和上一行1 0 的顺序相反。这样第n 行,必定是01顺序重复。目前为止10的个数是相等的。现在拿掉右上角和左下角的格子,即第一行最后一列(必定为0)和最后一行第一列(必定为0),这样0的格子数比1的格子数少了2个。我们又知道在这种标记下,不论1*2的小长方形是竖放,还是横放, 10必定各占据一个,所以如果可以铺满,10的总个数必定相等。这样便矛盾了。所以不可能铺满。

 

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