晚上陪女儿到图书馆看书写作业，顺便做了下2024新课标I卷数学高考压轴题。当时写在餐巾纸上，晚上洗完澡整理成文字如下：
19. 设 $m$ 为正整数，数列 $a_1, a_2, \cdots, a_{4 m+2}$ 是公差不为 0 的等差数列, 若从中删去两项 $a_i$ 和 $a_j(i<j)$ 后剩余的 $4 m$ 项可被平均分为 $m$ 组, 且每组的 4 个数都能构成等差数列, 则称数列 $a_1, a_2, \cdots, a_{4 m+2}$ 是 $(i, j)$ 一一可分数列.
（1）写出所有的 $(i, j), 1 \leq i<j \leq 6$, 使数列 $a_1, a_2, \cdots, a_6$ 是 $(i, j)$ 一一可分数列；
（2）当 $m \geq 3$ 时，证明：数列 $a_1, a_2, \cdots, a_{4 m+2}$ 是 $(2,13)$ 一一可分数列;
(3) 从 $1,2, \cdots, 4 m+2$ 中一次任取两个数 $i$ 和 $j(i<j)$, 记数列 $a_1, a_2, \cdots, a_{4 n+2}$ 是 $(i, j)$ 一一可分数列的概率为 $P_m$, 证明: $P_m>\frac{1}{8}$.
解: (1) 简单，为了考生熟悉可分数列的定义。
\[(1, 2), (5, 6), (1, 6)\]
(2) 尝试一下，便不难， m=3 时，有
\begin{align*} \left\{ \begin{array}{ll} 1, 4, 7, 10\\ 3, 6, 9, 12\\ 5, 8, 11, 14\\ \end{array} \right. \end{align*}
14 之后剩下的都是连续的，每连续4个为一组即可。因此 $m>3$时，上面的分组方法都成立。
（3）需要冷静思考和大胆猜测验证。
如果 $a_{i+1}, a_{i+2}, \dots, a_{j-1}$ 的总数恰好可以整除4，那么剩下的$(a_1, \dots, a_{i-1})$, $(a_{j+1}, \dots, a_{4m+2})$ 2 段的总数也可以整除4，因此
\[i = 4k + 1, j = 4n + 2, (k \le n)\]
是一种可分数列的情况。
注： 手写时，我使用m,n字母，$i=4m+1, j=4n+2, (m < n)$, m 和题中的m 字母重复，容易混淆。
概率可以这样估计。取出1个数除以4余1的概率$P_i = \frac{1}{4}$, 同理取出1个数除以4余2的概率$P_j = \frac{1}{4}$，因此这样的$(i,j)$的概率可以这样估计
\[P_{i,j} = \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}\]
更精确的概率可以这样算
\[P_{i, j} = \frac{(m+2)(m+1)/2}{C_{4m+2}^2} = \frac{(m+2)(m+1)/2}{8m^2+6m+1}\]
因为i有m+1种选择，j也有m+1种选择，因此$(i,j)$共有$(m+1)^2$种组合，这些组合中满足$i<j$的只有$(m+2)(m+1)/2$种。
结合(2)猜测 $(i=4k+2, j=4n+1, n \ge (k + 1))$ 也可以满足，先看 m = 2 的情形：
\[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\]
当 $i=2, j=9$时，按如下
\begin{align*} \left\{ \begin{array}{ll} 1, 3, 5, 7\\ 4, 6, 8, 10\\ \end{array} \right. \end{align*}
分组，可满足。不过 $i=2, j= 5时$ 不满足，影响不大，调整猜测
\[(i=4k+2, j=4n+1, n > (k + 1))\]
可满足，观察（2）1-14 和刚才1-10的例子，从$a_{4k+1}$开始到$a_{4n+2}$，下标从1开始，看作一个新的数列$a_1, a_2, \dots, a_{4(n-k)+2}$，记$N=(n-k)$，都可以按照下面的规律构造分组
\begin{align*} \left\{ \begin{array}{ll} 1, N+1, 2N+1, 3N+1\\ 3, N+3, 2N+3, 3N+3\\ 4, N+4, 2N+4, 3N+4\\ \vdots \\ N+2, 2N+2, 3N+2, 4N+2 \end{array} \right. \end{align*}
剩下的2段$a_1$ 到 $a_{4k}$ 和 $a_{4n+3}$到$a_{4m+2}$是连续的，且恰好都可以整除4，每连续4个为一组即可。
因此$(i=4k+2, j=4n+1, n > (k + 1))$也是可分数列。同样，概率估计约为$P_{i,j}=\frac{1}{16}$。
更精确的概率为：
\[P_{i,j} = \frac{m(m-1)/2}{C_{4m+2}^2}\]
因此
\begin{align*} P_m &= \frac{(m+2)(m+1)/2}{C_{4m+2}^2} + \frac{m(m-1)/2}{C_{4m+2}^2} \\ &=\frac{m^2+m+1}{8m^2+6m+1} \\ &> \frac{1}{8} \end{align*}
