在维基百科是这样介绍芝诺悖论的：
芝诺悖论是古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）（盛年约在公元前464-前461）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。这些悖论是芝诺反对存在运动的论证其中最著名的两个是：“阿基里斯追乌龟”和“飞矢不动”。
下面是我之前的笔记，整理如下。
我们今天要讲的就是"阿基里斯追乌龟"悖论。假如阿基里斯和乌龟同朝一个方向直线行走，乌龟在前慢悠悠地爬，阿基里斯在后拼命地跑，芝诺说跑得最快的阿基里斯永远追不上跑得慢的乌龟。因为当他追到乌龟的起跑点时，这时候乌龟已经往前爬了一段路。当他赶上这段路时，乌龟又向前进了一些。无论什么时候阿基里斯追到了乌龟上一刻时的位置，乌龟在这段时间内又向前爬了一段距离，这个差距虽然在缩小，但一直存在，在这无穷追赶过程中不会是零。因此乌龟虽然爬地慢，但永远无法被超越。
这显然不符合我们的生活经验，很多人呲之以鼻，不予理会。但是如果芝诺说的是错的，那么就必须指出他的逻辑推理哪里出错了。200多年后，同样是古希腊的阿基米德（公元前287年—公元前212年）给出了部分回答。他指出当阿基里斯的速度和乌龟的速度成固定比例时 (>1)，阿基里斯追乌龟肯定可以在有限距离内追上乌龟，这就是等比数列求和，没想到和芝诺悖论居然扯上了关系。
我这样来陈述，会好理解些。假设阿基里斯和乌龟相差1000米。阿基里斯的速度是乌龟的2倍，当阿基里斯最上乌龟的起跑点时，乌龟前进了1000/2=500 米；当追到1500米时，乌龟又前进了1000/2/2=250米…
阿基里斯跑了n 段距离时，可以用下式 $S_1$ 表示：
$S_1=1000+\frac{1}{2}1000+\frac{1}{4}1000+\ldots+\frac{1}{2^{n-1}}1000$
$=1000(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2^{n-1}})$
此时乌龟所爬的n段距离，可以用下式 $S_2$ 表示：
$S_2=\frac{1}{2}1000+\frac{1}{4}1000+\ldots+\frac{1}{2^n}1000$
$=1000(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2^n})$
根据等比数列求和，可知：当 n 趋于无穷大时， $S_1=2000$，$S_2=1000$, $S_1-S_2=1000$ ,也就是说刚好在2000米时追上乌龟。
事实上当等比数列的公比$0<q<1$ 时，等比数列都趋于一个常数，此时可知可以追上乌龟，上面只是 $q=\frac{1}{2}$ 的一个特例。
$S=aq+aq^2+aq^3+...(1)$
$qS=aq^2+aq^3+...(2)$
$(1)-(2)=(1-q)S=aq\Rightarrow S=\frac{aq}{1-q}$
上面阿基米德已经给出了收敛的例子，但是是否存在不收敛的情况（这种情况，阿基里斯将无法追上乌龟），直到柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857）才给出了一个答案。假设乌龟领先1米，他们以下列的方式直线前进：
阿基里斯前进1米时，乌龟前进了 $\frac{1}{2}$ 米
当阿基里斯前进$\frac{1}{2}$米时，乌龟前进了 $\frac{1}{3}$ 米
当阿基里斯前进$\frac{1}{3}$米时，乌龟前进了 $\frac{1}{4}$ 米
...
当阿基里斯前进$\frac{1}{n}$米时，乌龟前进了 $\frac{1}{n+1}$ 米
这样他们的速度是变化的，但是阿基里斯的速度确实一直大于乌龟。如果数列 $1+\frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}+...$ 不收敛（即不会趋于一个常数），这种情况下阿基里斯将无法追上乌龟：因为你无法像阿基米德那样算出追上时的距离。
我尝试了下证明,花了2个多小时，终于证明出来了。我的直觉是先看能否证明下面其中任何一个数列大于或等于某一常数。
$S=\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}$
$S=\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n^2}$
$S=\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2^n}$
我选择证明
$S=\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}$
为了更好看，我去掉了$\frac{1}{n}$
证明过程如下：
$S=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}$
$nS=\frac{n}{n+1}+\frac{n}{n+2}+...+\frac{n}{2n}$
$nS=(1-\frac{1}{n+1})+(1-\frac{2}{n+2})+...+(1-\frac{n}{2n})$
$nS=n-(\frac{1}{n+1}+\frac{2}{n+2}+...+\frac{n}{2n})$
易知 $\frac{1}{n+1}+\frac{2}{n+2}+...+\frac{n}{2n}<\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}=\frac{n}{2}$
$\therefore nS>n-\frac{n}{2}\Rightarrow s>\frac{1}{2}$
下面证明
\begin{equation}\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n}\end{equation}
可以分割成无穷多个
$\frac{1}{m}+\frac{1}{m+1}+...+\frac{1}{2m}$
形式的数列。
\begin{equation}\because\sum_{n=2}^{2^i}(\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+...+(\frac{1}{2^{i-1}+1}+ \frac{1}{2^{i-1}+2}+...+\frac{1}{2^i}))\end{equation}
\begin{equation}\therefore\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n}>\frac{1}{2}\times i\end{equation}
当i趋于无穷，$\frac{1}{2}\times i$也趋于无穷。
证毕!
当我看到自己证明出来的结果时，真的惊呆了，真没想到无穷累加趋于无穷小的数居然会无穷大。而且这一数列居然和阿基里斯追乌龟悖论有关，这种情况下阿基里斯将永远无法追上乌龟，此时悖论不再是悖论，要重新思考的反而是我们习以为常的东西。
后来我又查了一些历史资料。当约翰·伯努利（Johann Bernoulli,1667.8.6-1748.1.1）证明了这一数列趋于无穷后，他的哥哥雅格布·伯努利因为这一结果太出乎意料了，情不自禁挥笔写下了一短诗：
有限环绕无穷级数朝夕相伴，
在无限的王国中也存在着有限；
至大寓于细微之所，
而最狭小的有限中却见到无限。
在无限中认识细微是多么快乐，
巨大存在于细小之中，啊，神秘的上天！
