一场活动要测试鸵鸟蛋的坚固性。要让蛋从高楼上落下而不破，进而依据不破的最高楼层决定蛋的硬度。测试的高楼共101层。测试员意识到，如果他只带一颗鸵鸟蛋的话，他需要从第1层开始往上依次每一层把蛋投下以判定蛋的硬度。

如果他带两颗鸵鸟蛋（假定坚固性一样），那么在最坏的情况下他需要测试多少次呢？

我的解法是反过来考虑，假设可以测试n次，那么最乐观的情况可以测试到几层。

1.      最高应选择第 n 层。假设破了，第2颗蛋从第1层开始….；假设没破，按下面2继续。

2.      继续往上n-1 层。假设破了，第2颗蛋从第n+1层开始…；假设没破，同理继续下去。

….

不难得出，最乐观的情况可以测试到 n+(n-1)+(n-2)+…+1 层。所有有下面的不等式：

                                           $n+(n+1)+...+1=\frac{(n+1)n}{2}\ge 101 $

解得 n 要大于等于 14 次。所以最坏的情况需要测试14次。测试方法是，第一次选择14层。假设破了，第2颗蛋从第1层开始…；假设没破，第2次选择14+(14-1)=27层开始…

考虑下3颗的情况。

假设$f_2(n) \quad f_3(n) $ 分别表示2颗3颗蛋投n次可测试的最大层数。同理第1次，最高可选择$f_2(n-1) $+1 层，如果破了，还剩2颗，n-1 次，按2颗蛋的方案即可；如果没破，第2次继续往上 $f_3(n-1) $ 层。显然就又下面的递推关系

$f_3(n)=f_2(n-1)+1+f_3(n-1)$

展开该数列:

$f_3(n)=f_2(n-1)+1+\\f_2(n-2)+1+\\...+f_2(0)+1\\=(1+2+...n-1)+1+\\(1+2...+n-2)+1+\\....+1\\=(1+2+...n-1)+\\(1+2...+n-2)\\+....+(1)+n$

看到这个数列，我当时想太美了，居然跑出个通项为等差数列的数列求和。联想到之前自己推前n项平方和、前n项立方和公式的情形。那时我已经推出了该公式:

$1+(1+2)+...+(1+2+...+n)\\=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

所以不难计算出：

$f_3(n)=\frac{(n-1)n(n+1)}{6}+n\\=\frac{n(n^2+5)}{6} $

所以最坏情况9次即可。

同理可推4颗 … k 颗蛋的情况，公式将变得更加复杂。