平面上两点最短距离大家都知道直线最短，这是公理，因为这连牛都知道（小牛肯定优先选择直线跑向牛妈）。但是球面两点最短距离就不是凭直觉可以知道的了。 比如下图 P、Q 两点的最短距离是大圆 O 上的劣弧，还是小圆 O'上的劣弧，还是其它弧呢？注：劣弧指的是两段弧中较短的弧。 

我刚开始也没有想到一个简单的证明。第2天我想到了一个非常简单的证明。这个证明需要引用阿基米德公设2。阿基米德简介：公元前287年—公元前212年，阿基米德不仅是个物理学家，更是伟大的数学家，即使牛顿和爱因斯坦也都曾从他身上汲取过智慧和灵感。阿基米德公设2是这样陈述的：

同一平面上有公共端点的线中，如果任何这样两条线是不相等的，它们都是凹向同一方向，并且其中一条要么整个包含在另一条内，要么一部分包含于其中，一部分重合，那么这时里面的那条线是两线中较短的。

显然三角形两边之和大于第三边只是上述公设的一个特例。

下面是我证明的过程。

如下图，球心为 O，取球面上任意两点 P、 Q。P、 Q、 O 3点可以确定一个大圆。取弧 PQ 上任意一点 N，过 N 作一平面使得PQ垂直于该平面，该平面和球面相交截得的图形显然为圆。设圆心为 O’。连接 NO’线段，交 PQ 于 H。很容易证明圆 O'上的任一点 S（除 N), SH 线段都比 NH 线段长或者相等。这是因为，连接 SO',有 $SH+HO'\ge SO'$ $SO'= NO'$ $\Rightarrow SH+HO'\ge NO'$ 又$NH+HO'= NO'$ 所以$SH \ge NH$ 。注：相等的情况是 H 和 O'重合，即 P、Q、O 三点在同一条直线。

现在把 N 从 P 移动到 Q，现在可以肯定弧 PQ 是凹向直线 PQ 的最里面的曲线，根据上面阿基米德公设2，得证！

如果你觉得这很无聊的话，我很愿意聊聊它的用途。下一篇文章 通过经度纬度计算两地最短距离 就是聊这个的。