一个正方形，作出它的中点正方形；再作出新正方形的中点正方形，依次类推，会生成一个漂亮的图案。
如果在原正方形的四个顶点处随意各写1个自然数，将相邻顶点处数字相减（用较大数减较小数），结果写在每条边的中点（若数字相等，记为0）；依此类推，发现：不管当初写下的数字如何，最后得到的四个数字都是0。
例如下图：
要证明，确有些难度。
首先，我注意到当其中一对角顶点相等时，如下图，必然最终4个顶点为0。
接着再研究下，其中一相邻两个顶点为0的情况。
（1）假设 y>x ，如下图，等价于上面一对角顶点相等的情况，所以最终必为0。
（2） 假设 y<x ,如下图，仍等价于一对角顶点相等的情况，最终必为0。
现在分析一般的情况，设4个顶点为 a,b,c,c 不全为0（否则就没讨论的必要了）。
a,b,c,d 如果有两个以上为0，那么要么相邻，要么对角，从上面的分析可知，必然最终归0。
a,b,c,d 如果都不为0，那么他们中的最大数 max{a,b,c,d} 必然比上次小。如果一直不出现0，那么 max{a,b,c,d} 必然会减小到0为止。如果出现一个0，那么转为下面第3种情况。
3. a,b,c,d 其中一个为0，不妨假设d为0(假设其它为0实质上都是一样的，因为旋转下图形就一样了）。从下图可以看到，只有当a=b>c 或 b=c>a 的情况，第3个正方形的最大顶点数和第一个正方形的最大顶点数相等，但是即便如此，第4个正方形的最大顶点数必然要减小（第4个正方形没有画出来）。所以此种情况仍然不能阻止 max{a,b,c,d}的减小。
综上已经证明最后四个数字必为0。
从另一个角度来看，是因为找不到一个稳定结构，使得max{a,b,c,d}不减小。比如三角形就可以找到一个稳定结构，所以对于三角形这个命题是不成立的。例如下面的情形，三角形就可以周而复始稳定循环。
这让我想到了类似问题（通过一定运算规则，最终会变为某数的问题）中的 Collatz 猜想，也叫做 3 · n + 1 问题。这个问题是这样的：任意取一个正整数 n ，如果 n 是奇数，则把 n 变为 3 · n + 1 ；如果 n 是偶数，则把 n 变为 n/2 。不断重复操作，则最终一定会得到 1 。
举个例子，如果 n = 26 ，那么经过下面 10 步之后，它最终变为了 1 ：
26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1
看上去如此简单，却至今还没有人能证明它是正确的或是错误的。
